Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；

①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對稱軸是：直線x=1．

（2）①當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．②S=﹣m2+m（0≤m≤3）．

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線的解析式，當y=0時可求出A，B兩點的坐標，當x=0時，可求出C點的坐標．根據對稱軸x=﹣可得出對稱軸的解析式．

（2）PF的長就是當x=m時，拋物線的值與直線BC所在一次函數的值的差．可先根據B，C的坐標求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數的值的差就是PF的長．

根據直線BC的解析式，可得出E點的坐標，根據拋物線的解析式可求出D點的坐標，然后根據坐標系中兩點的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時m的值．

（3）可將三角形BCF分成兩部分來求：

一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標為高即可得出三角形PFC的面積．

一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點的橫坐標差的絕對值為高，即可求出三角形PFB的面積．

然后根據三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關于S、m的函數關系式．

解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

拋物線的對稱軸是：直線x=1．

（2）①設直線BC的函數關系式為：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

解得：．

所以直線BC的函數關系式為：y=﹣x+3．

當x=1時，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

當x=m時，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，當x=1時，y=4．

∴D（1，4）

當x=m時，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3）

∴線段DE=4﹣2=2，

線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m

∵PF∥DE，

∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．

由﹣m2+3m=2，

解得：m1=2，m2=1（不合題意，舍去）．

因此，當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），

可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S△BPF+S△CPF

即S=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB．

∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．