Question

【題目】如圖1，已知一次函數y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C．

（1）求b、c的值；

（2）如圖1，點D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE=2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標；

（3）將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉15°后交y軸于點G，連接CG，如圖2，P為△ACG內一點，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR

①求證：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出當PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣2，c=3（2）（﹣，）（3）①證明見解析②（﹣，）

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c即可解決問題．

（2）首先求出A、C、D坐標，根據BE=2ED，求出點E坐標，求出直線CE，利用方程組求交點坐標M．

（3）①欲證明PG=QR，只要證明△QAR≌△GAP即可．②當Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=求出AM，CM，利用等邊三角形性質求出AP、PM、PC，由此即可解決問題．

試題解析：（1）∵一次函數y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴A（﹣3，0），B（0，3），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點，

∴

解得，

∴b=﹣2，c=3．

（2），對于拋物線y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，則﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，

∴點C坐標（1，0），

∵AD=DC=2，

∴點D坐標（﹣1，0），

∵BE=2ED，

∴點E坐標（﹣，1），

設直線CE為y=kx+b，把E、C代入得到

解得，

∴直線CE為y=﹣x+，

由

解得，

∴點M坐標（﹣，）．

（3）①∵△AGQ，△APR是等邊三角形，

∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，

∴∠QAR=∠GAP，

在△QAR和△GAP中，

，

∴△QAR≌△GAP，

∴QR=PG．

②如圖3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，

∴當Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，

作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．

∵∠GAO=60°，AO=3，

∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，

∵∠QGA=60°，

∴∠QGO=90°，

∴點Q坐標（﹣6，3），

在RT△QCN中，QN=3，CN=7，∠QNC=90°，

∴QC=，

∵sin∠ACM=，

∴AM=，

∵△APR是等邊三角形，

∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，

∴AP=，PM=RM=

∴MC==，

∴PC=CM﹣PM=，

∵，

∴CK=，PK=，

∴OK=CK﹣CO=，

∴點P坐標（﹣，）．

∴PA+PC+PG的最小值為2，此時點P的坐標（﹣，）．