Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn) E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線 PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小？若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2+4，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

∴4a+4=0，

∴a=﹣1，

∴此拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）

解：存在．

拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=1，

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，

∴y=﹣4+4+3=3，

∴點(diǎn)E（2，3），

∴設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b，

∴ ，

∴ ，

∴直線AE的解析式為：y=x+1，

∴點(diǎn)F（0，1），

∵D（0，3），

∴D與E關(guān)于x=1對(duì)稱，

作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（0，﹣1），

連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，

四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，

設(shè)直線EF′的解析式為：y=mx+n，

∴ ，

解得： ，

∴直線EF′的解析式為：y=2x﹣1，

∴當(dāng)y=0時(shí)，2x﹣1=0，得x= ，

即H（ ，0），

當(dāng)x=1時(shí)，y=1，

∴G（1，1）；

∴DF=2，F(xiàn)H=F′H= = ，DG= = ，

∴使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小值為：DF+FH+GH+DG=2+ + + =2+2

（3）

解：存在．

∵BD= =3 ，

設(shè)M（c，0），

∵M(jìn)N∥BD，

∴ ，

即 = ，

∴MN= （1+c），DM= ，

要使△DNM∽△BMD，

需 ，即DM2=BDMN，

可得：9+c2=3 × （1+c），

解得：c= 或c=3（舍去）．

當(dāng)x= 時(shí)，y=﹣（ ﹣1）2+4= ．

∴存在，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（ ， ）

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2+4，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；（2）作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（0，﹣1），連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，則根據(jù)題意即可求得這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；（3）首先設(shè)M的坐標(biāo)為（a，0），求得BD與DM的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長(zhǎng)，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得DM2=BDMN，則可得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．