Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E、F在對角線AC上，且∠ABF＝∠CDE，AE＝CF．

（1）求證：△ABF≌△CDE；

（2）當四邊形ABCD的邊AB、AD滿足什么條件時，四邊形BFDE是菱形?說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當四邊形ABCD滿足AB＝AD時，四邊形BEDF是菱形．

【解析】試題分析：（1）根據平行線的性質，可求得∠BAC=∠DCA，然后根據等量代換可得AF=CE，最后可根據“AAS”可證；

（2）連接BD交AC于點O，由（1）的結論的到B＝CD，BF＝DE，∠AFB＝∠CED,然后根據一邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ABCD是平行四邊形，進而得到菱形ABCD，再根據菱形的判定證得四邊形BEDF是菱形即可.

試題解析：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．

∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE．

又∵∠ABF＝∠CDE，

∴△ABF≌△CDE．

（2）當四邊形ABCD滿足AB＝AD時，四邊形BEDF是菱形．

連接BD交AC于點O，

由（1）△ABF≌△CDE 得AB＝CD，BF＝DE，∠AFB＝∠CED,∴BF∥DE．

∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

又∵AB＝AD，∴□ABCD是菱形．∴BD⊥AC．

∵BF＝DE，BF∥DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴□BEDF是菱形．