Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），

把點A（0，4）代入上式得：a=，

∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，

∴拋物線的對稱軸是：x=3；

（2）

P點坐標為（3，）．

理由如下：

∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是x=3，

∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4）

如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小．

設直線BA′的解析式為y=kx+b，

把A′（6，4），B（1，0）代入得，

解得，

∴y=x﹣，

∵點P的橫坐標為3，

∴y=×3﹣=，

∴P（3，）．

（3）

在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．

設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），

如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，

由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4，

把x=t代入得：y=﹣t+4，則G（t，﹣t+4），

此時：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NGOC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，

∴當t=時，△CAN面積的最大值為，

由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，

∴N（，﹣3）．

【解析】（1）拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函數的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；
（2）點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4），連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，可求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數最大值的問題即可求得答案．