Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,點D為BC的中點,DE⊥DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,試寫出線段BE,EF,FC之間的數量關系,并說明理由.

Answer 1

【答案】解:FC2+BE2=EF2.理由如下:
∵點D為BC的中點,∴BD=CD.作△BDE關于點D成中心對稱的
△CDM,如圖.

由中心對稱的性質可得CM=BE,MD=ED,∠DCM=∠B.
又∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCM+∠ACB=90°,即∠FCM=90°.
連接FM.在△FME中,MD=ED,FD⊥ME,FD=FD,
∴△FDM≌△FDE.∴FM=EF.
又∵在Rt△FCM中,FC2+CM2=FM2,
∴FC2+BE2=EF2.
【解析】根據點D為BC的中點，作△BDE關于點D成中心對稱的△CDM，根據中心對稱的性質得出CM=BE,MD=ED,∠DCM=∠B，再根據直角三角形的兩銳角互余證得∠B+∠ACB=90°,從而證得△FCM是直角三角形，利用勾股定理得出,FC2+CM2=FM2,然后再證明FM=EF，即可證得結論。
【考點精析】掌握勾股定理的概念和中心對稱及中心對稱圖形是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱；如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形．