Question

【題目】△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點C在x軸上，一角頂點B在y軸上．
（1）如圖①若AD⊥x軸，垂足為點D．點C坐標是（﹣1，0），點B的坐標是（0，2），求A點的坐標．

（2）如圖②，直角邊BC在兩坐標軸上滑動，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點D，過點A作AE⊥y軸于E，求證：BD=2AE．

（3）如圖③，直角邊BC在兩坐標軸上滑動，使點A在第四象限內，過A點作AF⊥y軸于F，在滑動的過程中，兩個結論：① 為定值；② 為定值，只有一個結論成立，請你判斷正確的結論并求出定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCO=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠BCO=∠CAD，

在△ACD和△CBO中， ，

∴△ACD≌△CBO，

∴AD=CO=1，DC=OB=2，

∴OD=OC+CD=3，

∴A（﹣3，1）

（2）

解：如圖，

延長AE、BC交于點F，

∵y軸平分∠ABC，AE⊥y軸，

∴AE=EF，

∴AF=2AE，

∵AE⊥x軸，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDC，

∴∠EAD+∠BDC=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BDC+∠CBD=90°，

∴∠DAE=∠CBD，

在△BCD和△ACF中， ，

∴△BCD≌△ACF，

∴BD=AF，

∵AF=2AE，

∴BD=2AE

（3）

解：① 為定值，理由：

如圖3，

作AE⊥OC于E，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCB+∠OCA=90°，

∵∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

在△OBC和△ECA中 ．

∴△OBC≌△ECA，

∴OB=CE，

∵AF=OE

∴① = = =1是定值，

② = = = + = +1，而2AF與AB的關系不知，

∴②不是定值．

即：① 為定值

【解析】（1）先判斷出，∠BCO=∠CAD，從而得出△ACD≌△CBO，求出AD=CO=1，DC=OB=2即可；（2）先利用等腰三角形的判定得出AF=2AE，同（1）的方法判斷出△BCD≌△ACF，得出BD=AF即可；（3）作AE⊥OC，同（1）方法判斷出△OBC≌△ECA得出OB=CE，最后結合圖形求出①個結論是定值．
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）即可以解答此題．