Question

【題目】邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過F作FZ⊥GI，過E作EN⊥GI于N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的長，求出第一個正六邊形的邊長是a，是等邊三角形QKM的邊長的；同理第二個正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的；求出第五個等邊三角形的邊長，乘以即可得出第六個正六邊形的邊長．

連接AD、DF、DB．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，

∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，

∵∠AFE=∠ABC=120°，

∴∠AFD=∠ABD=90°，

在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），

∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，

∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，

∴AD∥EF，

∵G、I分別為AF、DE中點，

∴GI∥EF∥AD，

∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，

∴∠EDM=60°=∠M，

∴ED=EM，

同理AF=QF，

即AF=QF=EF=EM，

∵等邊三角形QKM的邊長是a，

∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是a，即等邊三角形QKM的邊長的，

過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，

則FZ∥EN，

∵EF∥GI，

∴四邊形FZNE是平行四邊形，

∴EF=ZN=a，

∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已證），

∴∠GFZ=30°，

∴GZ=GF=a，

同理IN=a，

∴GI=a+a+a=a，即第二個等邊三角形的邊長是a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是×a；

同理第第三個等邊三角形的邊長是×a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個正六邊形的邊長是××a；

同理第四個等邊三角形的邊長是××a，第四個正六邊形的邊長是×××a；

第五個等邊三角形的邊長是×××a，第五個正六邊形的邊長是××××a；

第六個等邊三角形的邊長是××××a，第六個正六邊形的邊長是×××××a，

即第六個正六邊形的邊長是×a，

故選A．