Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD內作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．
（1）如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．求證：△AGE≌△AFE；
（2）如圖3，連接BD交AE于點M，交AF于點N．請探究并猜想：線段BM，MN，ND之間有什么數量關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋轉的性質可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠BAG+∠BAE=45°．

∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中 ，

∴△GAE≌△FAE（SAS）；

（2）解：如圖所示：將△ABM逆時針旋轉90°得△ADM′．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

由旋轉的性質可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．

∴∠NDM′=90°．

∴NM′2=ND2+DM′2．

∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠FAM′=45°．

在△AMN和△ANM′中， ，

∴△AMN≌△ANM′（SAS）．

∴MN=NM′．

又∵BM=DM′，

∴MN2=ND2+BM2．

【解析】（1）由旋轉的性質可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下來在證明∠GAE=∠FAE，然后依據SAS證明△GAE≌△FAE即可；（2）將△ABM逆時針旋轉90°得△ADM′．在△NM′D中依據勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2 ， 接下來證明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′證明即可．
【考點精析】利用正方形的性質和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．