Question

【題目】將長為1，寬為a的長方形紙片（＜a＜1）如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于長方形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長方形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去，若在第n次操作后剩下的矩形為正方形，則操作終止．

（1）第一次操作后，剩下的矩形兩邊長分別為 ；（用含a的代數式表示）

（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則a= ；

（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1﹣a；（2）a=；（3）a的值為或；

【解析】

試題分析：（1）根據所給的圖形可以看出每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬，再根據長為1，寬為a的長方形即可得出剩下的長方形的長和寬；

（2）再根據（1）所得出的原理，得出第二次操作時正方形的邊長為1﹣a，即可求出第二次操作以后剩下的矩形的兩邊的長分別是1﹣a和2a﹣1，并且剩下的長方形恰好是正方形，即可求出a的值；

（3）根據（2）所得出的長方形兩邊長分別是1﹣a和2a﹣1，分兩種情況進行討論：①當1﹣a＞2a﹣1時，第三次操作后，剩下的長方形兩邊長分別是（1﹣a）﹣（2a﹣1）和2a﹣1；②當1﹣a＜2a﹣1時，第三次操作后，剩下的長方形兩邊長分別是（2a﹣1）﹣（1﹣a）和1﹣a，并且剩下的長方形恰好是正方形，即可求出a的值．

解：（1）∵長為1，寬為a的長方形紙片（＜a＜1），

∴第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1﹣a；

（2）∵第二次操作時正方形的邊長為1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1﹣a，2a﹣1，

此時矩形恰好是正方形，

∴1﹣a=2a﹣1，

解得a=；

（3）第二次操作后，剩下矩形的兩邊長分別為：1﹣a與2a﹣1．

①當1﹣a＞2a﹣1時，

由題意得：（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2a﹣1，

解得：．

當時，1﹣a＞2a﹣1．所以，是所求的一個值；

②當1﹣a＜2a﹣1時，

由題意得：（2a﹣1）﹣（1﹣a）=1﹣a，

解得：．

當時，1﹣a＜2a﹣1．所以，是所求的一個值；

所以，所求a的值為或；

故答案為（1）a與1﹣a；（2）．