Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB邊上的中點，Rt△EFG的直角頂點E在AB邊上移動.

(1)如圖1，若點D與點E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分別交AC、BC于點M、N，

易證EM＝EN；如圖2，若點D與點E重合，將△EFG繞點D旋轉，則線段EM與EN的長度還相等嗎?若相等請給出證明，不相等請說明理由；

(2)將圖1中的Rt△EGF繞點O順時針旋轉角度α(0＜α＜45). 如圖2，在旋轉過程中,當∠MDC＝15時，連接MN，若AC＝BC＝2，請求出寫出線段MN的長；

(3) 圖3, 旋轉后,若Rt△EGF的頂點E在線段AB上移動(不與點D、B重合)，當AB＝3AE時，線段EM與EN的數量關系是________；當AB＝m·AE時，線段EM與EN的數量關系是__________.

Answer 1

【答案】 NE＝2ME EN＝(m－1)ME

【解析】分析：（1）易證△CDM≌△BDN，從而得出DM＝DN 即EM＝EN；

（2）作DP⊥AC于P,通過解直角三角形DPM得出DM=，由△MND為等腰直角三角形得出結論；

（3）過點E作EP⊥AB交AC于點P，則△AEP為等腰直角三角形，通過證明△PME∽△BNE，得到EN＝2EM，由此規律可知，當AB＝m·AE時，EN＝(m－1)·ME

詳解：（1）EM＝EN;原因如下：

∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB邊上的中點

∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90°

∴∠CDF＋∠FDB＝90°

∵∠GDF＝90°∴∠GDC＋∠CDF＝90°∴∠CDM＝∠BDN

在△CDM和△BDN中

∠MCD＝∠B，DC＝DB，∠CDM＝∠BDN，

∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN

(2)作DP⊥AC于P,則

∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1

∵∠CDG＝15° ∴∠MDP＝30°

∵cos∠MDP＝

∴DM＝， DM＝DN，

∵△MND為等腰直角三角形

∴MN＝

(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME

證明：如圖3，過點E作EP⊥AB交AC于點P

則△AEP為等腰直角三角形，∠PEB＝90°

∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE

又∵∠MEP＋∠PEN＝90°

∠PEN＋∠NEB＝90°

∴∠MEP＝∠NEB

又∵∠MPE＝∠B＝45°

∴△PME∽△BNE

∴，即EN＝2EM

由此規律可知，當AB＝m·AE時，EN＝(m－1)·ME