Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，-3），點P是直線BC下方的拋物線上一動點.（1）求這個二次函數的表達式．

（2）連結PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP’C， 那么是否存在點P，使四邊形POP’C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大，并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點P，使得四邊形POP’C為菱形，P點坐標為（，）（3）P點的坐標為，四邊形ABPC的面積最大為

【解析】

試題分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標

試題解析：（1）將B,C兩點的坐標代入

得到

解得：

∴二次函數的表達式為：

（2）存在點P，使得四邊形POP’C為菱形。

設P點坐標為（x，），PP’交CO于點D

∵四邊形POP’C為菱形

∴OD=DC，PP’⊥OC

∵C點為（0，-3）

∴D點為（0，）

∴=

解得：，（不合題意，舍去）

∴P點坐標為（，）

（3）過點P作x軸的垂線與OB交于點E, 與BC交于點F，

∵二次函數

∴點A為（-1，0）

設P（x，），

易得直線BC的解析式為

則F點的坐標為（x，x－3）.

=

當時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積最大為．