Question

【題目】如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，其中一個角叫另一個角的垂角．

(1)如圖1，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，直接寫出圖中∠BOE的垂角為　 　；

(2)如果一個角的垂角等于這個角的補角的，求這個角的度數；

(3)如圖2，O為直線AB上一點，∠AOC＝75°，將整個圖形繞點O逆時針旋轉n°(0＜n＜180)，直線AB旋轉到A1B1，OC旋轉到OC1，作射線OP，使∠BOP＝∠BOB′，試直接寫出當n＝　 　時，∠POA1與∠AOC1互為垂角．

Answer 1

【答案】(1)∠DOB，∠EOC；(2)這個角的度數為18或126度；(3)30.

【解析】

（1）根據互為垂角的定義即可求解；

（2）利用題中的“一個角的垂角等于這個角的補角的”作為相等關系列方程求解；

（3）分0＜n＜75，75＜n＜90兩種情況討論可得n的值．

(1)∠EOB與∠DOB，∠EOB與∠EOC互為垂角的角，

∴圖中∠BOE的垂角為∠DOB，∠EOC，

故答案為：∠DOB，∠EOC；

(2)設這個角的度數為x度，則

①當0＜x＜90時，它的垂角是90+x度，依題意有

90+x＝(180﹣x)，

解得x＝18；

②當90＜x＜180時，它的垂角是x﹣90度，依題意有

x﹣90＝(180﹣x)，

解得x＝126；

故這個角的度數為18或126度；

(3)當n＝75時OC′和OA重合，分兩種情況：

①當0＜n＜75時，∠COC′＝n°，∠AOC′＝75°﹣n°，

∠POB＝∠BOB′＝n°，

∠A′OP＝180°﹣(∠POB+∠BOB′)＝180°﹣n°，

∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，

∴|(180﹣n)﹣(75﹣n)|＝90，

∵0＜n＜75，

∴n＝30；

②當75＜n＜90時，∠AOC′＝n°﹣75°，

∠POB＝∠BOB′＝n°，

∠A′OP＝180°﹣(∠POB+∠BOB′)＝180°﹣n°，

∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，

∴|(180﹣n)﹣(n﹣75)|＝90，

解得n＝66或138，

∵75＜n＜90，

∴n＝66或138舍去；

綜上所述；n＝30時，∠POA′與∠AOC′互為垂角，

故答案為：30．