Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的內心，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點，則r的取值范圍是（ ）

A.r≥1
B.1≤r≤
C.1≤r≤
D.1≤r≤4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接OA、OB，如圖所示

則四邊形OECF是正方形，

∴OF=CF=OE=CE，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

∵O是△ABC的內心，

∴CE=CF=OF=OE= （AC+BC﹣AB）=1，

∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，

∴OA= ，OB= = ，

當r=1時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有唯一交點；

當1＜r≤ 時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有兩個交點；

當 ＜r≤ 時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有1個交點；

∴以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點，則r的取值范圍是1≤r≤ ；

所以答案是：C

【考點精析】掌握直線與圓的三種位置關系和三角形的內切圓與內心是解答本題的根本，需要知道直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點；三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心．