Question

【題目】如圖，在ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于 BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形． （Ⅰ）根據以上尺規作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；
（Ⅱ）若菱形ABEF的周長為16，AE=4 ，求∠C的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△AEB和△AEF中， ，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形；
（Ⅱ）如圖，連結BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周長為16，AE=4 ，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG= = = ，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C=∠BAF=60°．

【解析】（Ⅰ）先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可證明； （Ⅱ）連結BF，交AE于G．根據菱形的性質得出AB=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG=30°，那么∠BAF=2∠BAE=60°．再根據平行四邊形的對角相等即可求出∠C=∠BAF=60°．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．