Question

九（1）班數學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的課題研究：用一定長度的鋁合金材料，將它設計成外觀為長方形的三種框架，使長方形框架面積最大．
小組討論后，同學們做了以下三種試驗：

請根據以上圖案回答下列問題：
（1）在圖案1中，如果鋁合金材料總長度（圖中所有黑線的長度和）為6m，當AB為1m，長方形框架ABCD的面積是

 

m²；
（2）在圖案2中，如果鋁合金材料總長度為6m，設AB為xm，長方形框架ABCD的面積為S=

 

（用含x的代數式表示）；當AB=

 

m時，長方形框架ABCD的面積S最大；在圖案3中，如果鋁合金材料總長度為lm，設AB為xm，當AB=

 

m時，長方形框架ABCD的面積S最大．
（3）經過這三種情形的試驗，他們發現對于圖案4這樣的情形也存在著一定的規律．探索：如圖案4如果鋁合金材料總長度為lm共有n條豎檔時，那么當豎檔AB多少時，長方形框架ABCD的面積最大．

Answer 1

分析：（1）當AB=1時，BC=

6-2

3

=

4

3

；長方形框架ABCD的面積是：1×

4

3

=

4

3

；
（2）當AB=x時，BC=

6-3x

3

=2-x，長方形框架ABCD的面積為S=x（2-x）=-x²+2x，當x=-

2

2×(-1)

=1時，S=-x²+2x=1：在圖案3中，如果鋁合金材料總長度為lm，設AB為xm，則BC=

l-4x

3

，S=x•

l-4x

3

=-

4

3

x²+

l

3

x：
當x=-

l 3

2(- 4 3 )

=

l

8

時，長方形框架ABCD的面積S最大；
（3）如果鋁合金材料總長度為lm共有n條豎檔時，則BC=

l-nx

3

，S=x•

l-nx

3

=-

n

3

x2+

l

3

x，依照同樣方法可求當x=

l

2n

時，長方形框架ABCD的面積最大．

解答：解：（1）

4

3

，（2分）

（2）-x²+2x，1，

l

8

，（6分）

（3）設AB長為xm，那么AD為

l-nx

3

，（7分）
S=x•

l-nx

3

=-

n

3

x2+

l

3

x，（8分）
當x=

l

2n

時，S最大．（9分）

點評：考查數學活動過程中，學生對活動對象、有關知識與方法的理解，培養探究意識．能通過觀察、實驗、歸納等獲得猜想．