Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，連接CO并延長交⊙O于點D、E，連接AD并延長交BC于點F．

（1）試判斷∠CBD與∠CEB是否相等，并證明你的結論；

（2）求證：；

（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．

Answer 1

【答案】（1）∠CBD與∠CEB相等，證明見解析；（2）證明見解析；（3）tan∠CDF=．

【解析】試題分析：

（1）由AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，從而可得∠A=∠CBD，結合∠A=∠CEB即可得到∠CBD=∠CEB；

（2）由∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，可得∠EBC=∠BDC，從而可得△EBC∽△BDC，再由相似三角形的性質即可得到結論；

（3）設AB=2x，結合BC=AB，AB是直徑，可得BC=3x，OB=OD=x，再結合∠ABC=90°，

可得OC=x，CD=（-1）x；由AO=DO，可得∠CDF=∠A=∠DBF，從而可得△DCF∽△BCD，由此可得：==，這樣即可得到tan∠CDF=tan∠DBF==.

試題解析：

（1）∠CBD與∠CEB相等，理由如下：

∵BC切⊙O于點B，

∴∠CBD=∠BAD，

∵∠BAD=∠CEB，

∴∠CEB=∠CBD，

（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，

∴∠EBC=∠BDC，

∴△EBC∽△BDC，

∴；

（3）設AB=2x，∵BC=AB，AB是直徑，

∴BC=3x，OB=OD=x，

∵∠ABC=90°，

∴OC=x，

∴CD=（-1）x，

∵AO=DO，

∴∠CDF=∠A=∠DBF，

∴△DCF∽△BCD，

∴==，

∵tan∠DBF==，

∴tan∠CDF=．