Question

【題目】為迎接中國森博會，某商家計劃從廠家采購A，B兩種產品共20件，產品的采購單價（元/件）是采購數量（件）的一次函數，下表提供了部分采購數據．

采購數量（件）	1	2	…
A產品單價（元/件）	1480	1460	…
B產品單價（元/件）	1290	1280	…

（1）設A產品的采購數量為x（件），采購單價為y1（元/件），求y1與x的關系式；
（2）經商家與廠家協商，采購A產品的數量不少于B產品數量的 ，且A產品采購單價不低于1200元，求該商家共有幾種進貨方案；
（3）該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價售出A，B兩種產品，且全部售完，在（2）的條件下，求采購A種產品多少件時總利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

【答案】
（1）解：設y1與x的關系式y1=kx+b，

由表知 ，

解得k=﹣20，b=1500，

即y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x為整數）

（2）解：根據題意可得

，

解得11≤x≤15，

∵x為整數，

∴x可取的值為：11，12，13，14，15，

∴該商家共有5種進貨方案

（3）解：解法一：y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

令總利潤為W，

則W=（1760﹣y1）x+（20﹣x）×[1700﹣（10x+1100）]=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

∵a=30＞0，

∴當x≥9時，W隨x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴當x=15時，W最大=10650；

解法二：根據題意可得B產品的采購單價可表示為：

y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

則A、B兩種產品的每件利潤可分別表示為：

1760﹣y1=20x+260，

1700﹣y2=﹣10x+600，

則當20x+260＞﹣10x+600時，A產品的利潤高于B產品的利潤，

即x＞ =11 時，A產品越多，總利潤越高，

∵11≤x≤15，

∴當x=15時，總利潤最高，

此時的總利潤為（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650．

答：采購A種產品15件時總利潤最大，最大利潤為10650元

【解析】（1）抓住已知產品的采購單價（元/件）是采購數量（件）的一次函數，因此設函數解析式，將表中的兩組對應值代入求解即可。
（2）此小題的不等關系是：采購A產品的數量≥B產品數量的 ，且A產品采購單價≤1200，建立不等式組，求出其解集，找出整數解，即可求得進貨方案。
（3）解法一、先寫出總利潤W與x的函數關系式，求出其頂點坐標，根據二次函數的性質，及自變量的取值范圍求得結果；方法二、根據題意可得B產品的采購單價y與x的函數關系式，再表示出A、B兩種產品的每件利潤，建立不等式，求出當x=15時，總利潤最高，即可求出最大利潤。
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和二次函數的最值，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．