Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2－2mx－3 （m≠0）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B頂點為C點．

（1）求點A和點B的坐標；

（2）若∠ACB=45°，求此拋物線的表達式；

（3）在（2）的條件下，垂直于軸的直線與拋物線交于點P（x1，y1）和Q（x2，y2），與直線AB交于點N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，結合函數的圖象，直接寫出x1+x2+x3的取值范圍為．

Answer 1

【答案】（1）A（0，－3），B（1，0）；（2）y=x2－2x－3；（3）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法、對稱軸公式即可解決問題；

（2）確定點C坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（3）如圖，當直線l在直線l1與直線l2之間時，x3＜x1＜x2，求出直線l經過點A、點C時的x1+x3+x2的值即可解決問題；

試題解析：解：（1）∵拋物線y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）與y軸交于點A，∴點A的坐標為（0，﹣3）；

∵拋物線y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的對稱軸為直線x=1，∴點B的坐標為（1，0）．

（2）∵∠ACB=45°，∴點C的坐標為（1，﹣4），把點C代入拋物線y=mx2﹣2mx﹣3

得出m=1，∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（3）如圖，當直線l1經過點A時，x1=x3=0，x2=2，此時x1+x3+x2=2，當直線l2經過點C時，直線AB的解析式為y=3x﹣3，∵C（1，﹣4），∴y=﹣4時，x=﹣．

此時，x1=x2=1，x3=﹣，此時x1+x3+x2=，當直線l在直線l1與直線l2之間時，x3＜x1＜x2，∴．