Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側．

（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；
（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當k=1時，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1．

聯立兩個解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

當x=﹣1時，y=x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）

（2）

解：方法一：設P（x，x2﹣1）．

如答圖2所示，過點P作PF∥y軸，交直線AB于點F，則F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB= PF（xF﹣xA）+ PF（xB﹣xF）= PF（xB﹣xA）= PF

∴S△ABP= （﹣x2+x+2）=﹣ （x﹣ ）2+

當x= 時，yP=x2﹣1=﹣ ．

∴△ABP面積最大值為 ，此時點P坐標為（ ，﹣ ）

方法二：過點P作x軸垂線，交直線AB于F，

設P（t，t2﹣1），則F（t，t+1）

∴S△ABP= （FY﹣PY）（BX﹣AX），

∴S△ABP= （t+1﹣t2+1）（2+1），

∴S△ABP=﹣ t2+ t+3，

當t= 時，S△ABP有最大值，∴S△ABP=

（3）

解：方法一：設直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F，

則E（﹣ ，0），F（0，1），OE= ，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF= = ．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

Ⅰ、假設存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，

則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，根據圓周角定理，此時∠OQC=90°．

設點N為OC中點，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON= ．

∴EN=OE﹣ON= ﹣ ．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴ ，即： ，

解得：k=± ，

∵k＞0，

∴k= ．

∴存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k= ．

Ⅱ、若直線AB過點C時，此時直線與圓的交點只有另一點Q點，故亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，

將C（﹣k，0）代入y=kx+1中，

可得k=1，k=﹣1（舍去），

故存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k=1．

綜上所述，k= 或1時，存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°

方法二：∵y=x2+（k﹣1）x﹣k，

∴y=（x+k）（x﹣1），

當y=0時，x1=﹣k，x2=1，

∴C（﹣k，0），D（1，0），

點Q在y=kx+1上，設Q（t，kt+1），O（0，0），

∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴KCQ×KOQ=﹣1，

∴ ＜

∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解，

∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，

∴k1= ，k2=﹣ （k＞0故舍去），∴k=

【解析】方法一：（1）當k=1時，聯立拋物線與直線的解析式，解方程求得點A、B的坐標；（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最大值及點P的坐標；（3）“存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，由圓周角定理可知，此時∠OQC=90°且點Q為唯一．以此為基礎，構造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點是考慮直線AB是否與拋物線交于C點，此時亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°．方法二：（1）聯立直線與拋物線方程求出點A，B坐標．（2）利用面積公式求出P點坐標．（3）列出定點O坐標，用參數表示C，Q點坐標，利用黃金法則二求出k的值．