Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，BM是ABC內部的一條射線，且，點A關于BM的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中AD、CD的延長線分別交射線BM于點E，P．

(1)依題意補全圖形；

(2)若ABM ，求BDC 的大小（用含的式子表示）；

(3)用等式表示線段PB，PC與PE之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 60°+;(3)見解析.

【解析】

（1）正確畫圖；

（2）根據對稱得：BM是AD的垂直平分線，則BA=BD，根據等腰三角形的性質和等邊三角形可得結論；

（3）在射線PD上截取PF使PF=PB，連接BF，如圖，先證明△BPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△BPD，則CF=PD=2PE．根據線段的和可得結論．

（1）如圖所示：

（2∵點A與點D關于BM對稱，∴BM是AD的垂直平分線，∴BA=BD．

∵∠ABM=α，∴∠ABD=2∠ABM=2α．

∵等邊△ABC，∴BA=CB=BD，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD =60°－，∴∠BDC=∠DCB=（180°∠DBC）=60°+．

（3）結論：PB=PC+2PE．證明如下：

在射線PD上截取PF使PF=PB，連接BF．

∵BA=BD，∠ABD=，∴∠BDA=∠BAD=90° ．

∵∠BDC=60°+，∴∠PDE=180－（∠BDA+∠BDC）=30°．

∵∠DEP=90°，∴PD=2PE．

∵∠BPF=∠DPE=90°∠PDE=60°，PF=PB，∴△BPF是等邊三角形，∴∠BPF=∠BFP=60°．

∵∠BDC=∠DCB，∴∠BDP=∠BCF．

在△BFC和△BPD中，∵ ，∴△BFC≌△BPD，∴CF=PD=2PE，∴PB= PC+BF=PC+2PE．