Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過Q作QN⊥x軸于N，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ，過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方），若FG=2 DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=1，x2=﹣3，則A（﹣3，0），B（1，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2﹣2x+3=3，則C（0，3）；

（2）

解：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

設(shè)M（x，0），則點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），

∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線=﹣1對(duì)稱，

∴點(diǎn)Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），

∴PQ=﹣2﹣x﹣x=﹣2﹣2x，

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）=﹣2x2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大，此時(shí)M（﹣2，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=3x+3，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=x+3=1，

∴E（﹣2，1），

∴△AEM的面積= ×（﹣2+3）×1= ；

（3）

解：當(dāng)x=﹣2時(shí)，Q（0，3），即點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣x2﹣2x+3=4，則D（﹣1，4），

∴DQ= = ，

∴FG=2 DQ=2 × =4，

設(shè)F（t，﹣t2﹣2t+3），則G（t，t+3），

∴GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，

∴t2+3t=4，解得t1=﹣4，t2=1，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】（1）解方程﹣x2﹣2x+3=0可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)；計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先確定拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，設(shè)M（x，0），則點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），利用對(duì)稱性得到點(diǎn)Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），PQ=﹣2﹣2x，所以矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3），利用二次函數(shù)得到當(dāng)x=﹣2時(shí)，矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大，此時(shí)M（﹣2，0），接著利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=3x+3，從而得到E（﹣2，1），然后根據(jù)三角形面積公式求解；（3）當(dāng)x=﹣2時(shí)得到Q（0，3），再確定D（﹣1，4），則DQ= ，所以FG=2 DQ=4，設(shè)F（t，﹣t2﹣2t+3），則G（t，t+3），所以GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，于是得到方程t2+3t=4，然后解方程求出t即可得到F點(diǎn)坐標(biāo)．