Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，O為坐標原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N．

（1）當A點第一次落在直線y=x上時，求點A所經過的路線長；
（2）在旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數；
（3）設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，

∴OA旋轉了45°，

∴點A經過的路線長為 =

（2）解：∵四邊形OABC是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

當MN∥AC時，∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，

∵BA=BC，

∴AM=CN，

∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，

∴△OAM≌△OCN，

∴∠AOM=∠CON，

∵∠MON=45°，

∴∠AOM= （90°﹣45°）=22.5°，

∴旋轉過程中，當MN∥AC時，正方形OABC旋轉的角度為45°﹣22.5°=22.5°

（3）解：P值無變化．延長BA交y軸于E點，

則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM．

∴∠AOE=∠CON，

∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

∴△OAE≌△OCN，

∴OE=ON，AE=CN，

∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN，

∴MN=ME=AM+AE，

∴MN=AM+CN，

∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BM=AB+BC=4，

∴正方形OABC旋轉過程中，P值無變化．

【解析】（1）點A經過的路線是一段弧，根據弧長公式求出圓心角的度數及半徑即可求解。
（2）根據已知條件易證得△OAM≌△OCN，得出∠AOM=∠CON，即可求出∠MON、∠AOM的度數。
（3）P值無變化．延長BA交y軸于E點，先證明△OME≌△OMN，證得OM=OM，再證明△OME≌△OMN，得出MN=ME=AM+AE，即得MN=AM+CN，即可得到p的值。