Question

【題目】如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，∠DBC=∠BAC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，∠BAC=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）π﹣．

【解析】

試題分析：（1）求出∠ADB的度數(shù)，求出∠ABD+∠DBC=90°，根據(jù)切線判定推出即可；

（2）分別求出等邊三角形DOB面積和扇形DOB面積，即可求出答案．

（1）證明：∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAC+∠ABD=90°，

∵∠DBC=∠BAC，

∴∠DBC+∠ABD=90°，

∴AB⊥BC，

∵AB為直徑，

∴BC是⊙O切線；

（2）解：連接OD，過O作OM⊥BD于M，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOD=2∠A=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴OB=BD=OD=2，

∴BM=DM=1，

由勾股定理得：OM=，

∴陰影部分的面積S=S扇形DOB﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．