Question

【題目】已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過點A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點．
（1）當點P與點Q重合時，如圖1，寫出QE與QF的數量關系，不證明；

（2）當點P在線段AB上且不與點Q重合時，如圖2，（1）的結論是否成立？并證明；

（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，如圖3，此時（1）的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：QE=QF，

理由是：如圖1，∵Q為AB中點，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴∠BFQ=∠AEQ=90°，

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

∴QE=QF，

（2）

解：中的結論仍然成立，

證明：如圖2，延長FQ交AE于D，

∵Q為AB中點，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中， ，

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是Rt△DEF斜邊上的中線，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF．

（3）

解：（1）中的結論仍然成立，

證明：如圖3，

延長EQ、FB交于D，

∵Q為AB中點，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠1=∠D，

在△AQE和△BQD中， ，

∴△AQE≌△BQD（AAS），

∴QE=QD，

∵BF⊥CP，

∴FQ是Rt△DEF斜邊DE上的中線，

∴QE=QF．

【解析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可；（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可；（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可
【考點精析】利用三角形的“三線”對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內．