Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點M在BC邊上，且∠MDF=∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE．
（2）連接EM，如果FM=DM，判斷EM與DF的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，

∵E為AB的中點，

∴AE=BE，

在△AED和△BFE中， ，

∴△AED≌△BFE（AAS）

（2）解：EM與DM的關系是EM垂直且平分DF；理由如下：

連接EM，如圖所示：

由（1）得：△AED≌△BFE，

∴DE=EF，

∵∠MDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，

∴∠MDF=∠BFE，

∴FM=DM，

∴EM⊥DF，

∴ME垂直平分DF．

【解析】（1）由平行線的性質得出∠ADE=∠BFE，由E為AB的中點，得出AE=BE，由AAS證明△AED≌△BFE即可；（2）由△AED≌△BFE，得出對應邊相等DE=EF，證明FM=DM，由三角形的三線合一性質得出EM⊥DF，即可得出結論．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．