Question

小明和幾位同學做手的影子游戲時，發現對于同一物體，影子的大小與光源到物體的距離有關.因此，他們認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.
（1）如圖①，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，邊長AB為30cm，在其正上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長度和為6cm.那么燈泡離地面的高度為           .
（2）不改變①中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖②擺放，請計算此時橫向影子A′B，D′C的長度和為多少？
（3）有n個邊長為a的正方形按圖③擺放，測得橫向影子A′B，D′C的長度和為b,求燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結果用含a,b,n的代數式表示）

Answer 1

（1）180cm （2）12 cm   (3)

試題分析：（1）由題意得A′B=D′C，BM=CM=15；正方形框架ABCD，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=CD；所以（SAS），；正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長度和為6cm，，在直角三角形，；而在直角三角形中，所以，解得h=180cm
（2）不改變①中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖②擺放,h=180cm;BM=CM=30cm,AB=CD=30cm;由（1）的證明可得（SAS），，在直角三角形，；而在直角三角形中，所以，解得x=6,所以橫向影子A′B，D′C的長度和=2x=12cm
（3）記燈泡為點P，
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠P D′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根據相似三角形對應高的比等于相似比的性質，可得
設燈泡離地面距離為由題意，得 PM=，PN=AD= ，A′D′= ，
∴
∴
∴
所以x=
點評：本題考查全等三角形，三角函數，正方形，掌握三角形全等的判定方法，熟悉三角函數的定義，掌握正方形的性質是解本題的關鍵，本題雖是最后一題，但難度不算大