Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

（3）直線l經過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側的部分上運動，直線m經過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點坐標為（，）時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為；（3）存在，．

【解析】

試題分析：（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；

（2）連接BC，則△ABC的面積是不變的，過P作PM∥y軸，交BC于點M，設出P點坐標，可表示出PM的長，可知當PM取最大值時△PBC的面積最大，利用二次函數的性質可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積；

（3）設直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點坐標，利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式．

試題解析：

（1）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）如圖1，連接BC，過Py軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，

在中，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，∴A點坐標為（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=ABOC=×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC解析式為y=x﹣3，設P點坐標為（x，），則M點坐標為（x，x﹣3），∵P點在第四限，∴PM= =，∴S△PBC=PMOH+PMHB=PM（OH+HB）=PMOB=PM，∴當PM有最大值時，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，∵PM==，∴當x=時，PMmax=，則S△PBC==，此時P點坐標為（，），S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，即當P點坐標為（，）時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為；

（3）如圖2，設直線m交y軸于點N，交直線l于點G，則∠AGP=∠GNC+∠GCN，當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中，∵∠AOC=∠NOB，OC=OB，∠ACO=∠NBO，∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N點坐標為（0，﹣1），設直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點坐標代入可得，解得：，∴直線m解析式為，即存在滿足條件的直線m，其解析式為．