Question

【題目】已知：平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，點B在第二象限， AO= AB，∠BOX=150° .

（1）試判定△ABO的形狀；

（2）若BC⊥BO，BC=BO，點D為CO的中點，AC、DB交于E，求證：AE=BE+CE.

（3）如圖：若點E為y軸的正半軸上一動點，以BE為邊作等邊△BEG，延長GA交x軸于點P，問：AP與AO之間有何數量關系，試證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1) △AOB為等邊三角形；（2）證明見解析；（3）AP=2AO，理由見解析.

【解析】試題分析:(1)根據∠BOX=150°, ∠AOX=90°,計算出∠AOB=60°,又因為AO= AB,所以可以判定△ABO是等邊三角形,(2)在AC上截取AM=CE,先證∠AEB=60°,理由是根據題意可得△AOB為等邊三角形, △BOC為等腰直角三角形,確定出∠ABD度數,根據AB=BC,且夾角∠BAC=∠BCA,利用SAS得到△BCM和△BAE全等,利用全等三角形的性質可得BM=BE,得到△BEM是等邊三角形,得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代換即可求證,

(3)AP=2AO,理由是根據題意得到BG=BE,AB=OB,

利用等式的性質得到∠ABG=∠OBE=60°,利用外角的性質得到∠APO=30°,在直角三角形中,利用30度所對直角邊等于斜邊的一半可以得到AP=2AO.

試題解析:(1)∵OB與x軸正半軸夾角為150°,x軸⊥y軸,

∴∠AOB=150°-90°=60°,

∵AO=AB,

∴△AOB為等邊三角形,

（2）在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM,

∵△AOB為等邊三角形, △BOC為等腰直角三角形,

∴∠OBC=90°,∠ABO=60°,

∵D為CO的中點,

∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°,

∴∠ABD=105°,∠ABC=150°,

∴∠BAC=∠BCA=15°,

∴∠AEB=60°,

在△ABE和△CBM中,AB=CB,∠BAE=∠BCM,AE=CM,

∴△ABE≌△CBM（SAS）,

∴BM=BE,

∴△BEM為等邊三角形,

∴BE=EM,

∴AE=AM+EM=CE+BE,

（3）AP=2AO,理由為:

∵△AOB與△BGE都為等邊三角形,

∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°,

∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA,即∠ABG=∠OBE,

在△ABG和△OBE中,AB=OB,∠ABG=∠OBE,BE=BG,

∴△ABG≌△OBE（SAS）,

∴△ABG≌△OBE（SAS）,

∴∠BAG=∠BOE=60°,

∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°,

∵∠GAO為△AOP的外角,且∠AOP=90°,

∴∠APO=30°,

在Rt△AOP中,∠APO=30°,

則AP=2AO．