Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于點 A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為軸上一動點，過點M且垂直于軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．

①點M在線段OA上運動，若以B，P，N為頂點的三角形與APM相似，求點M的坐標；

②點M在軸上自由運動，若三個點M、P、N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱M，P，N三點為“共諧點”．請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點”的 m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（1，0），（2，0）；（3）m＝1，－2， ．

【解析】試題分析：（1）把點坐標代入拋物線解析式可求得，可求得拋物線解析式；
（2）①由點坐標可表示的坐標，從而可表示出的長，分和兩種情況，分別利用相似三角形的性質可得到關于的方程，可求得的值；
②用可表示出的坐標，由題意可知有為線段的中點、為線段的中點或為線段的中點，可分別得到關于的方程，可求得的值．

試題解析：
(1) 把點代入拋物線

∴3=0+c，解得c=3，

∴拋物線解析式為

(2) ∵與x軸交于點A(3,0)，可知直線解析式為y=-x+3，

∵M(m,0)為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

或

當時，則有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

即解得m=0(舍去)或m=2，

當時,則有

∴

解得m=0(舍去)或m=1，

綜上可知當以B,P,N為頂點的三角形與△APM相似時,點M的坐標為(2,0)或(1,0)；

②由①可知

∵M，P，N三點為“共諧點”，

∴有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，

當P為線段MN的中點時,則有, 解得m=3(三點重合,舍去)或m=1；

當M為線段PN的中點時,則有解得m=3(舍去)或m=2；

當N為線段PM的中點時,則有解得m=3(舍去)或

綜上可知當M,P,N三點成為“共諧點”時m的值為1或2或