Question

【題目】如圖，邊長為的正方形的對角線交于點，把邊、分別繞點、同時逆時針旋轉得四邊形，其對角線交點為，連接．下列結論：

①四邊形為菱形；

②；

③線段的長為；

④點運動到點的路徑是線段．其中正確的結論共有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據旋轉角是60°以及正方形的四個角都是直角可得∠BCD′＝30°，然后證明A′B∥CD′，進而得到四邊形A′BCD′是平行四邊形，再根據A′B＝BC，即可證明四邊形A′BCD′是菱形；

②根據旋轉角是60°求出點B到A′D′的距離是A′B的一半，也就是AB的一半，然后根據正方形的面積公式以及菱形的面積即可證明；

③先求出OA′的長度，再根據菱形的對邊相等，減去正方形的邊長即可；

④根據旋轉的性質，點O以BC的中點為圓心，以BC的一半為半徑逆時針旋轉可以得到點O′，所以路徑是弧而非線段．

①根據題意，∠A′BA＝∠D′CD＝60°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BCD′＝30°，

∴∠A′BC＋∠BCD′＝60°＋90°＋30°＝180°，

∴A′B∥CD′，

又∵A′B＝CD′＝AB，

∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，

∵AB＝BC（正方形的邊長相等），

∴四邊形A′BCD′是菱形，故本題小題正確；

②∵∠ABA′＝60°，AB＝2，

∴點B到A′D′的距離是：A′B＝AB＝1，

∴S四邊形A′BCD＝BC（A′B）＝2×1＝2，

S正方形ABCD＝BCAB＝2×2＝4，

∴S四邊形A′BCD＝S正方形ABCD，故本小題正確；

③∵點O是AC的中點，

∴OA′＝A′Bsin60°＋BC＝2×＋×2＝＋1，

∴OD′＝OA′A′D′＝＋12＝1，故本小題正確；

④根據菱形的對角線互相垂直可得△BCO′是直角三角形，

∴以BC的中點為圓心，以BC的一半為半徑，點O逆時針旋轉可以到達點O′的位置，經過路徑是弧而不是線段OO′，故本小題錯誤．

綜上所述，正確的結論有①②③共3個．

故選：C．