Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為A，點A在點B的左邊，頂點為P，且線段AB的長為2．

（1）求點A的坐標；

（2）求該拋物線的函數表達式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使|GC﹣GB|最大？若存在，求G點坐標；若不存在說明理由．

（4）連結AC，請問在x軸上是否存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）y=x2﹣4x+3；（3）G點坐標為（2，﹣3）；（4）在x軸上存在兩點Q1（0，0），Q2（，0）

【解析】

試題分析：（1）求值直線y=﹣x+3與x軸的交點B，然后根據AB的長，即可求得OA的長，則A的坐標即可求得；

（2）利用待定系數法求得二次函數的解析式；

（3）由于A、B兩點關于拋物線的對稱軸即直線x=2對稱，所以G點為直線CA與直線x=2的交點，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，再令x=2，求出y的值，進而得出G點坐標；

（4）分成=，∠PBQ=∠ABC=45°和=，∠QBP=∠ABC=45°兩種情況求得QB的長，據此即可求解．

解：（1）當y=0時，﹣x+3=0，解得x=3，即B（3，0），

由AB=2，得3﹣2=1，

A的坐標為（1，0）；

（2）根據題意得：，

解得：，

則拋物線的解析式是：y=x2﹣4x+3；

（3）延長CA，交對稱軸于點G，連接GB，則|GC﹣GB|=GC﹣GA=AC最大．

∵拋物線y=x2﹣4x+3與x軸交于點A、點B（3，0），且對稱軸為直線x=2，

∴點A的坐標為（1，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+m，

∵A（1，0），C（0，3），

∴，

解得，

∴y=﹣3x+3，

當x=2時，y=﹣3×2+3=﹣3，

∴G點坐標為（2，﹣3）；

（4）①當=，∠PBQ=∠ABC=45°時，△PBQ∽△ABC．

即=

∴BQ=3，

又∵BO=3，

∴點Q與點O重合，

∴Q1的坐標是（0，0）．

②當=，∠QBP=∠ABC=45°時，△QBP∽△ABC．

即=，

QB=．

∵OB=3，

∴OQ=OB﹣QB=3﹣=

∴Q2的坐標是（，0）．

∵∠PBx=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，

∴∠PBx≠∠BAC．

∴點Q不可能在B點右側的x軸上

綜上所述，在x軸上存在兩點Q1（0，0），Q2（，0）