Question

【題目】如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE．

（1）求證：BE=CE；

（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G．若BC=4，EB平分∠ABC，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）π

【解析】

試題分析：（1）由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得BE=CE；

（2）由EB=EC，根據等腰三角形的性質得∠EBC=∠ECB=30°，則根據三角形內角和定理計算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到ED=BD=，然后根據扇形的面積公式求解．

（1）證明：∵點D是線段BC的中點，

∴BD=CD，

∵AB=AC=BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AD為BC的垂直平分線，

∴BE=CE；

（2）解：∵EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB=30°，

∴∠BEC=120°，

在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，

∴ED=BD=，∠FEG=120°，

∴陰影部分（扇形）的面積==π．