Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，AC與BD，相交于點O，點E、F是直線AD上兩動點，且AE=DF，CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G，連接AG，直線AG交BE于點H．

（1）如圖1，當點E、F在線段AD上時，①求證：∠DAG=∠DCG；②猜想AG與BE的位置關系，并加以證明；

（2）如圖2，在（1）條件下，連接HO，試說明HO平分∠BHG；

（3）當點E、F運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出∠BHO的度數．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②AG⊥BE（2）HO平分∠BHG（3）45°

【解析】

試題分析：（1）①根據正方形的性質得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，則可根據“SAS”證明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根據正方形的性質得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根據“SAS”證明△ABE≌△DCF，則∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判斷AG⊥BE；

（2）如答圖1所示，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，證明△AON≌△BOM，可得四邊形OMHN為正方形，因此HO平分∠BHG結論成立；

（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG⊥BE；過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，構造全等三角形△AON≌△BOM，從而證明OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．

試題解析：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

②AG⊥BE．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，

在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠ABE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（2）由（1）可知AG⊥BE．

如答圖1所示，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，則四邊形OMHN為矩形．

∴∠MON=90°，

又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OAN=∠OBM．

在△AON與△BOM中，

∴△AON≌△BOM（AAS）．

∴OM=ON，

∴矩形OMHN為正方形，

∴HO平分∠BHG．

（3）將圖形補充完整，如答圖2示，∠BHO=45°．

與（1）同理，可以證明AG⊥BE．

過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，

與（2）同理，可以證明△AON≌△BOM，

可得OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，

∴∠BHO=45°．