Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以點A為圓心，AB為半徑，作⊙A交AC于點F，交BA的延長線于點D，過點D作AC的平行線交⊙A于點E，連接AE、CE，EF．

⑴求證：CE⊥AE;

⑵當∠CAB等于多少度時，四邊形ADEF為菱形，并給于證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）當∠CAB =60°多少度時，四邊形ADFE為菱形，證明見解析.

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點A為圓心，AC為半徑，作OA交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作AB的平行線EF交OA于點F，連接AF、BF，DF．

解：(1)證明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB．∵∠E=∠EFA ．∠FAB=∠CAB．

在△ABC和△ABF中，

AF=AC，∠FAB=∠CAB，AB=AB，

∵△ABG≌△ABF，∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AF．

(2)當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形，

證明：∵∠ CAB=60°．

∴∠FAB=∠CAB=∠ CAB=60°．

∴EF=AD=AE．

∴四邊形ADFE是菱形，

“點睛”本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質及圓周角定理的知識，解題的關鍵是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，難度不大．