Question

【題目】某商品的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現需降價處理，且經市場調查，每降價1元，每星期可多賣出20件，在確保盈利的前提下，解答下列問題：

（1）若設每件降價x（x為整數）元，每星期售出商品的利潤為y元，請寫出x與y之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；

（2）請畫出上述函數的大致圖象.

（3）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？

小麗解答過程如下：

解：（1）根據題意，可列出表達式：

y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),

即y=-20x2+100x+6000.

∵降價要確保盈利，∴40＜60-x60.解得0x＜20.

（2）上述表達式的圖象是拋物線的一部分，函數的大致圖象如圖1：

（3）∵a=-20＜0，

∴當x==2.5時，y有最大值，y==6125.

所以，當降價2.5元時，每星期的利潤 最大，最大利潤為6125.

老師看了小麗的解題過程，說小馬第（1）問的表達式是正確的，但自變量x的取值范圍不準確.（2）（3）問的答案，也都存在問題.請你就老師說的問題，進行探究，寫出你認為（1）（2）（3）中正確的答案，或說明錯誤原因.

Answer 1

【答案】（1）自變量x的取值范圍是0x＜20，且x為整數；（2）（3）答案見解析

【解析】（1）自變量x的取值范圍是0x＜20，且x為整數.

(2)函數不能為實線，是圖象中，當x=0、1、2、3、4、5....19時，

對應的20個有限點.如圖:

（3）若x只取正整數，則x就不能取2.5，結果就不是6125元，

顯然，只有當x=2或3時，

y有最大值，y最大值=6120元.