Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以點D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN.

(1)求證：MN＝BM＋NC；

(2)求△AMN的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6.

【解析】

（1）先證明△BDF≌△CDN，得出∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，同時再證明△DMN≌△DMF，得出MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN.

（2）根據MN＝MB＋CN，得出△AMN的周長為AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6.

解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，

∴∠DBA＝∠DCA＝90°，

延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，

由SAS可證△BDF≌△CDN，

∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，

∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，

由SAS可證△DMN≌△DMF，

∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN

(2)由(1)知MN＝MB＋CN，

∴△AMN的周長為AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6