Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，A（﹣2，2），過A作AB⊥y軸于點B，以OB為邊在第一象限內作△BCO．

（1）如圖①，若△BCO為等邊三角形，求點C坐標；

（2）如圖②，若△BCO為以BO為斜邊的直角三角形，求AC的最大值；

（3）如圖③，若∠BCO＝45°，BC＝a，CO＝b，請用a、b的代數式表示AC的長．

Answer 1

【答案】（1）點 C（，1）；（2）AC的最大值為+1；（3）AC＝．

【解析】

（1）過點C作CE⊥OB于點E，由等邊三角形的性質可求BC＝BO＝CO＝2，BE＝EO＝1，由勾股定理可求CE的長，即可求點C坐標；

（2）取BO中點E，連接AE，由勾股定理可求AE的長，由點C在以E為圓心，OE長為半徑的圓上，即當點C在線段AC的延長線上時，AC有最大值，則可求AC的最大值；

（3）過點B作BF⊥OC于點F，過點C作CE⊥OB于點 E，CH⊥AB于H，由直角三角形的性質可求BF＝CF＝BC＝a，由面積法可求CE的長，由勾股定理可求BE2，AC的值．

解：（1）如圖1，過點C作CE⊥OB于點E，

∵A（﹣2，2），過A作AB⊥y軸于點B，

∴點B（0，2），

∵△BCO是等邊三角形，CE⊥BO，

∴BC＝BO＝CO＝2，BE＝EO＝1，

∴CE＝，

∴點 C（，1）；

（2）如圖2，取BO中點E，連接AE，

∵點E是BO中點，

∴OE＝BE＝1，

∴AE＝，

∵△BCO為以BO為斜邊的直角三角形，

∴點C在以E為圓心，OE長為半徑的圓上，

∴當點C在線段AC的延長線上時，AC有最大值，

即AC的最大值為+1；

（3）如圖3，過點B作BF⊥OC于點F，過點C作CE⊥OB于點 E，CH⊥AB于H，

∵BF⊥OC，∠BCO＝45°，

∴BF＝CF＝BC＝a，

∵S△OBC＝×OB×EC＝×OC×BF，

∴2EC＝ba，

∴EC＝ab，

∴BE2＝BC2﹣EC2＝a2﹣（ab）2，

∵CH⊥AH，EC⊥OB，OB⊥BH，

∴四邊形BHCE是矩形，

∴CH＝BE，BH＝EC，

∴AC2＝AH2+CH2＝（2+ab）2+a2﹣（ab）2＝a2+ab+4

∴AC＝