Question

定義一種對于三位數

.

abc

（a、b、c不完全相同）的“F運算”：重排

.

abc

的三個數位上的數字，計算所得最大三位數和最小三位數的差（允許百位數字為零）．例如

.

abc

=213時，則

（1）579經過三次“F運算”得

495

；
（2）假設

.

abc

中a＞b＞c，則

.

abc

經過一次“F運算”得

99（a-c）

（用代數式表示）；
（3）猜想；任意一個三位數經過若干次“F運算’’都會得到一個定值

495

，請證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據“F運算”的定義得到579經過三次“F運算”的結果即可；
（2）

.

abc

=100a+10b+c，

.

cba

=100c+10b+a，相減即可求解；
（3）設這個三位數中三個數字為a≥b≥c，且a≥c+1，則“F運算”有

.

abc

-

.

cba

=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），找出規律解決問題．

解答：解：（1）①975-579=396；②963-369=594；③954-459=495；

（2）（100a+10b+c）-（100c+10b+a）
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=99（a-c）；

（3）不妨設這個三位數中三個數字為a≥b≥c，且a≥c+1，
則“F運算”有

.

abc

-

.

cba

=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位數中必有一個9，而另外兩個數字之和為9；
共有990，981，972，963，954五種情況；
以990為例得，990-099=891，
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
…
由此可知最后得到495數就會循環．
故答案為：495；99（a-c）；495．

點評：考查了整數的十進制表示法，主要從數的變化中得到第一次變化后所得到的數，由此找出規律得出問題的解．設出這三位數，根據題意列出算式是解答本題的關鍵．