Question

【題目】如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，設CD=x．

（1）用含x的代數式表示AC+CE的長；

（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小；

（3）根據（2）中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A、C、E三點共線；（3）13.

【解析】

（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值．

解：（1）設CD=x，則BC=8-x，

∵AC=，CE=，

∴AC+CE=+；

（2）由兩點之間線段最短可知，當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；

（3）如右圖所示

作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數的最小值．

過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，

則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，

所以AE===13，

即的最小值為13．