Question

【題目】如圖1，2在矩形紙片ABCD中，AD=6，AB=9.點(diǎn)M，N分別在AB，DC上（M不與A，B重合，N不與C，D重合），現(xiàn)以MN為折痕，將矩形紙片ABCD折疊.

（1）當(dāng)B 點(diǎn)落在DC上時(shí)（如圖2），求證：△MNB是等腰三角形；

（2）當(dāng)B點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，試求△MNB的面積；

（3）當(dāng)B點(diǎn)與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，試求折痕MN的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S△MNB=19.5；（3）MN=2.

【解析】試題分析：（1）先判斷出AM∥DN，進(jìn)而得出∠BNM=∠BMN=∠NMH，即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)勾股定理求出DN，再用三角形得面積公式即可得出結(jié)論；

（3）先根據(jù)勾股定理求出BH，再判斷出△ABH∽△EMN即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）如答圖1，

∵四邊形AHGD是矩形 ，

∴AM∥DN，

∴∠BNM=∠BMN=∠MNH，

∴△MNB是等腰三角形.；

（2）如答圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，

設(shè)MB=MF=x，則AM=9-x，

由勾股定理得：62+（9-x）2=x2，解得x=6.5，

∴MD=ND=6.5，

∴S△MNB=×6×6.5=19.5.

（3）如答圖3，當(dāng)點(diǎn)B與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，連接BH交MN于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AH于點(diǎn)E，

∵AD=6，

∴AB=DB=3，

∴BH2=32+92.

∴BH=3.

∵NM垂直平分HB，NE⊥AH，

∴∠MNE=∠AHB.

∵∠A=∠NEM，

∴△ABH～△AHB.

∴.

∴.

∴MN=2.