Question

【題目】如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB．

（1）求點P與點P′之間的距離；

（2）求∠APB的度數．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）150°.

【解析】

（1）連結PP′，由旋轉性質可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根據∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′為等邊三角形，即可證明PP′=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案.

（1）連接PP′，由題意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，

∵∠PAC+∠BAP＝∠BAC=60°，

∴∠PAP′＝∠P′AB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=60°．

∴△APP′為等邊三角形，

所以PP′＝AP＝AP′＝6；

（2）∵PP′=6，BP=8，BP′=10，

∴PP′2+BP2＝BP′2，

∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°

∴∠APB＝∠BPP′+∠APP′=90°+60°＝150°．