Question

【題目】（本題滿分分）

（）【問題】如圖，點為線段外一動點，且， ．當點位于__________時線段的長取得最大值，且最大值為__________（用含、的式子表示）．

（）【應用】點為線段除外一動點，且， ．如圖所示，分別以、為邊，

作等邊三角形和等邊三角形，連接、．

①請找出圖中與相等的線段，并說明理由．

②直接寫出線段長的最大值．

（）【拓展】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點為線段

外一動點，且， ， ．請直接寫出線段長的最大值及此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（）延長線上， ；（）①；②（）；

【解析】（）當三點不共線時，三角形兩邊之和大于第三邊，即；

當在延長線上時， ；

當在線段上時， ．

故當在延長線上時， 取得最大值，且為．

（）①依題意得， ，利用等邊三角形每個角都是和角的關系得，

最后根據邊角邊定理證明≌，

從而推出．

②因為，所以線段的最大值即的最大值．

根據三角形兩邊之和大于第三邊，所以最大時即、、三點共線，

得到的最大值為，

故的最大值為．

（）如圖1，以點為圓心， 為半徑作弧，交以點為圓心，

為半徑作的弧于點，連接、、，則．

在和中，

，

所以≌，

所以，又因為，

所以，即．

由（）可知，當點在的延長線上時， 取得最大值，

又因為，所以此時取得最大值．

如圖2，點在的延長線上時，過點作軸于點．

在中，由勾股定理得

，

所以．

因為， ，所以是等腰直角三角形，

又因為，所以，

又因為點，

所以，

所以點坐標為．