Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若E是 的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD與圓O相切．理由如下：

∵AC為∠DAB的平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

則CD與圓O相切

（2）解：連接EB，交OC于F，

∵E為 的中點，

∴ ，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA，

又∵∠EAC=∠OAC，

∴∠ECA=∠OAC，

∴CE∥OA，

又∵OC∥AD，

∴四邊形AOCE是平行四邊形，

∴CE=OA，AE=OC，

又∵OA=OC=1，

∴四邊形AOCE是菱形，

∵AB為直徑，得到∠AEB=90°，

∴EB∥CD，

∵CD與⊙O相切，C為切點，

∴OC⊥CD，

∴OC∥AD，

∵點O為AB的中點，

∴OF為△ABE的中位線，

∴OF= AE= ，即CF=DE= ，

在Rt△OBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC= ，

則S陰影=S△DEC= × × = ．

【解析】（1）CD與圓O相切，理由為：由AC為角平分線得到一對角相等，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得證；（2）根據E為弧AC的中點，得到弧AE=弧EC，利用等弧對等弦得到AE=EC，可得出弓形AE與弓形EC面積相等，陰影部分面積拼接為直角三角形DEC的面積，求出即可．