Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點E，且交⊙O于點D，F是BA延長線上一點，若∠CDB=∠BFD．

（1）求證：FD是⊙O的一條切線；

（2）若AB=10，AC=8，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）利用圓周角定理以及平行線的判定得出∠FDO=90°，進而得出答案；

（2）利用垂徑定理得出AE的長，再利用相似三角形的判定與性質得出FD的長．

（1）證明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，

∴∠CAB=∠BFD，

∴FD∥AC（同位角相等，兩直線平行），

∵∠AEO=90°，

∴∠FDO=90°，

∴FD是⊙O的一條切線；

（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，

∴AE=EC=4，AO=5，

∴EO=3，

∵AE∥FD，

∴△AEO∽△FDO，

∴=，

∴=，

解得：FD=．