Question

【題目】如圖所示，拋物線y=x2﹣4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C，

（1）求cos∠CAO的值；

（2）求直線AC的函數關系式；

（3）如果有動點P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，求P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）cos∠CAO=；（2）直線AC的解析式為：y=﹣3x+3；（3）點P的坐標為：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線y=x2﹣4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C，可以求得A、B、C三點的坐標，從而可以求得OA、OC、AC的長，進而可以得到cos∠CAO的值；

（2）根據點A、C兩點的坐標，可以求得直線AC的函數關系式；

（3）根據第三問的條件，可知符合要求的三角形OPA存在三種情況，然后分別畫出相應的圖形，即可求得點P的坐標．

解：（1）∵拋物線y=x2﹣4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C，

∴x2﹣4x+3=0，得x=1或x=3，x=0時，y=3，

∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），

∴OA=1，OC=3，

∴，

∴cos∠CAO=；

（2）設直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，3），

∴

解得k=﹣3，b=3．

即直線AC的解析式為：y=﹣3x+3；

（3）如果有動點P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，

則有如下三種情況，

第一種情況如下圖1所示，

當∠OPA=∠OCA，∠AOC=∠AOP時，△OPA∽△OAC，

∴，

∵點C的坐標為（0，3），

∴OP=OC=3，

∴點P的坐標為（0，﹣3）；

第二種情況如下圖2所示，點P位于y軸正半軸，

當∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時，△OPA∽△OAC，

∴，

∵點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（1，0），

∴OA=1，OC=3，

∴，

即點P的坐標為（0，）；

第三種情況如下圖3所示，點P位于y軸負半軸，

當∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時，△OPA∽△OAC，

∴，

∵點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（1，0），

∴OA=1，OC=3，

∴，

即點P的坐標為（0，﹣）．

由上可得，點P的坐標為：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．