Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．

（1）求證：BD=BF；

（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)16π.

【解析】

試題分析：（1）作輔助線，連接OE，根據切線的性質知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根據OD=OE，可知∠ODE=∠OED，從而可得∠ODE=∠F，BD=BF；

（2）根據△AOE∽△ABC，可將⊙O的半徑求出，代入圓的面積公式，計算即可．

試題解析：（1）證明：如圖，連接OE，

∵AC切⊙O于E，

∴OE⊥AC，

又∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OE∥BC，

∴∠OED=∠F，

又OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∴∠ODE=∠F，

∴BD=BF；

（2）解：設⊙O半徑為r，

由OE∥BC得△AOE∽△ABC，

∴，即，

∴﹣r﹣12=0，

解之得=4，=﹣3（舍），

經檢驗，r=4是原分式的解．

∴16π．