Question

【題目】如圖四邊形，，，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．

（1）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使四邊形是平行四邊形，若存在，求出值；若不存在，請說明理由；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形面積等于；

（3）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝3；（2）t＝；（3）t＝3或t＝．

【解析】

（1）當(dāng)DQ＝CP時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形，根據(jù)CP＝153t，DQ＝122t建立方程求解即可；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P是從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C返回點(diǎn)B時(shí)，分別利用梯形面積公式構(gòu)建方程，求出時(shí)間t，再舍去不合題意的值即可；

（3）分三種情況討論：①當(dāng)PQ＝PD時(shí)，②當(dāng)PQ＝DQ時(shí)，③當(dāng)DQ＝PD時(shí)，分別利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理列方程解答即可．

解：（1）∵AD∥BC

∴當(dāng)DQ＝CP時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形，

當(dāng)0＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C，

∵DQ＝ADAQ＝122t，CP＝153t，

∴122t＝153t，

解得：t＝3，

∴t＝3時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；

（2）分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P是從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵CP＝153t，DQ＝122t，以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30cm2，

∴S四邊形CDQP＝ (DQ＋CP)AB＝30，即× (122t＋153t)×10＝30，

解得：t＝；

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C返回點(diǎn)B時(shí)，

由運(yùn)動(dòng)知，DQ＝122t，CP＝3t15，

∴S四邊形CDQP＝ (DQ＋CP)AB＝30，即 (122t＋3t15)×10＝30，

解得：t＝9，

∵點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D的時(shí)間為12÷2＝6，

∴t＝9舍去，

∴當(dāng)t為秒時(shí)，以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30cm2；

（3）分三種情況討論：

作PH⊥AD于H，

①當(dāng)PQ＝PD時(shí)，則HQ＝HD，

∵QH＝HD＝DQ＝（122t）＝6t，

由AH＝BP，得：6t＋2t＝3t，

解得：t＝3；

②當(dāng)PQ＝DQ時(shí)，

∵QH＝AHAQ＝BPAQ＝3t2t＝t，DQ＝122t，

∴PQ2＝QH2＋PH2＝t2＋102，

∵DQ2＝PQ2，

∴（122t）2＝t2＋102，

解得：t＝，

∵0＜t＜5，

∴t＝；

③當(dāng)DQ＝PD時(shí)，

∵DH＝ADAH＝ADBP＝123t，DQ＝122t，

∴PD2＝PH2＋HD2＝102＋（123t）2，

∵DQ2＝PD2，

∴（122t）2＝102＋（123t）2，

整理得：5t224t＋100＝0，

∵△＜0，

∴方程無實(shí)根，即此情況不存在，

綜上可知，當(dāng)t＝3秒或t＝秒時(shí)，△PQD是等腰三角形．