Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點為B，OC平行于AD，OA=2．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD+OC=9，求CD的長．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OD．

∵AD∥OC，

∴∠1=∠2，∠A=∠3．

∵OA=OD，

∴∠A=∠1，

∴∠2=∠3，

∴在△ODC與△OBC中，

，

∴△ODC≌△OBC（SAS），

∴∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD．

又OD是圓O的半徑，

∴CD是⊙O的切線

（2）證明：連結BD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，

∵∠OBC=90°，∴∠ADB=∠OBC

又∠A=∠3，∴△ADB∽△OBC

∴ ，ADOC=OBAB=2×4=8；

又AD+OC=9，

∴AD、OC是關于x的方程x2﹣9x+8=0的兩個根．

∵OC＞OD，∴OC=8，AD=1，OD=2，

∴CD=

【解析】（1）如圖，連接OD，欲證明CD是⊙O的切線，只需證得∠ODC=90°，即OD⊥CD即可；（2）由△ADB∽△OBC的對應邊成比例求得ADOC=OBAB=2×4=8，結合已知條件“AD+OC=9”，則AD、OC是關于x的方程x2﹣9x+8=0的兩個根．據此求得OC、OD的值，所以在直角△OCD中，根據勾股定理來求線段CD的長度即可．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．