Question

【題目】如圖：在三角形ABC中，∠C=90°，AD是三角形ABC的角平分線，AB=AC+CD．

（1）求證：AC=BC；

（2）若BD=，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8+4．

【解析】

試題分析：（1）作DE⊥AB于E，則∠AED=∠BED=90°，由AAS證明△ADE≌△ADC，得出對應邊相等ED=CD，AE=AC，由已知條件得出ED=EB，得出∠B=∠EDB=45°，證出△ABC是等腰直角三角形，即可得出結論；

（2）證出△BDE是等腰直角三角形，得出CD=ED=EB=BD=4，AC=BC=CD+BD=4+4，即可得出結論．

（1）證明：作DE⊥AB于E，則∠AED=∠BED=90°，

∵AD是三角形ABC的角平分線，

∴∠DAE=∠DAC，

在△ADE和△ADC中，

，

∴△ADE≌△ADC（AAS），

∴ED=CD，AE=AC，

∵AB=AC+CD=AE+EB，

∴CD=EB，

∴ED=EB，

∴∠B=∠EDB=45°，

∴∠BAC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC；

（2）解：∵∠B=∠EDB=45°，∠BED=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴CD=ED=EB=BD=4，

∴AC=BC=CD+BD=4+4，

∴AB=AC+CD=4+4+4=8+4．